うつ坊ブログ

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【解説】モンティ・ホール問題が分からない理由

 

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前置き

こんばんは。うつ坊である。

みなさん、頭を使っているかな?

 

正月にまで使いたくないという人もいるだろう。

まあ私もそうである。 

 

しかしあんまり正月ボケしてしまってもいけない。

ここは一つ知恵を絞ってみよう。

 

今日取り上げるのはモンティ・ホール問題だ。

モンティ・ホール問題とは?

聞いたことがある人も多いだろう。

直感と答えが合わない問題として有名だ。

 

まずは問題を載せよう。

 

モンティ・ホール問題:
0:三つの扉がある。一つは正解。二つは不正解。
1:挑戦者は三つの中から一つ扉を選ぶ。
2:司会者(モンティ)は答えを知っており,残り二つの扉の中で不正解の扉を一つ選んで開ける。
3:挑戦者は残り二つの扉の中から好きな方を選べる。このとき扉を変えるべきか?変えないべきか?

 

『高校数学の美しい物語』より引用

mathtrain.jp

 

これはアメリカで人気だったテレビ番組、"Let's Make a Deal"を題材にした問題だ。

みなさんはお分かりになるだろうか。

少し考えてみて欲しい。

 

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Wikipediaより

 

 

 

 

 

 

 

 

 

正解は変えるべきである。

どうだっただろう。

正解できただろうか。

 

多くの人が変えても変えずとも同じと思ってしまうらしい。

これは本当にたくさんの人が陥ってしまう間違いである。

当時の人もそうだった。

 

ところがここで1人の人物が現れる。

それがマリリン・ボス・サバントだ。

世界一IQの高い女性としてギネスにも載った。

ちなみにIQ228である。

はええ。

 

彼女はあるコラムで通説と異なる、変えるべきだという結論を出した。

これに対し彼女の元には怒涛のような反論が巻き起こった。

 

中には数学者もいたらしい。

ある数学者は「子供でも分かる問題を間違えて恥をさらしている」と言ったそうだ。

恥をさらしてるのはお前なんだよなあ……。

 

マリリンの正しさはのちにコンピューターによって証明されることとなる。

報われてよかったよ。

 

私?

私はどう考えたか?

では言おう。

 

はっきり言ってなぜ分からないかが分からなかった。

 

ああっやってしまった!

新年早々大っぴらに粋がってしまった!!!

いやあ申し訳ない。

怒って餅を喉に詰まらせないで欲しい。

いやあ。

 

しかし分からない理由が分からないと言っていても始まらない。

分からない理由まで分かってこそ真の賢者である。

ということで今回は、分からない理由を考えてみることにした。

正しい考え方

まずは正しい考え方を見てみよう。

至極簡単である。

もう一度問題を載せるぞ。

 

モンティ・ホール問題:
0:三つの扉がある。一つは正解。二つは不正解。
1:挑戦者は三つの中から一つ扉を選ぶ。
2:司会者(モンティ)は答えを知っており,残り二つの扉の中で不正解の扉を一つ選んで開ける。
3:挑戦者は残り二つの扉の中から好きな方を選べる。このとき扉を変えるべきか?変えないべきか?

 

場合分けして考えよう。 

扉を変えて当たる場合

扉を変えて当たる場合はどんな場合だろうか。

実はこれ、最初に不正解を選ぶ場合である。

 

最初に不正解を選ぶ。

司会者がもう一つの不正解の扉を開ける。

残りは正解の扉だ。

 

つまり、扉を変えて当たるのは最初に不正解を選んだ場合なのだ。

最初に不正解を選ぶ確率はいくつだろうか。

三つのうち不正解の扉は二つだ。

よって2/3となる。

扉を変えずに当たる場合

扉を変えないで当たる場合はどうだろう。

これは最初に正解を選ぶ場合だ。

 

考えてみよう。

最初に正解を選ぶ。

司会者が二つの不正解の扉の中から一つ開ける。

残りは不正解の扉だ。

 

このとき扉を変えないと当たりだ。

よって扉を変えないで当たるのは最初に正解を選んだ場合になる。

最初に正解を選ぶ確率はいくつだろう。

三つの扉の中から一つだけある正解を選ぶ確率だ。

1/3となる。

結論

よって扉を変えた方が扉を変えないよりも2倍当たりやすいということだ。

簡単だなあ!

 

要は

扉を変えて当たる確率 =最初に不正解を選ぶ確率

扉を変えずに当たる確率=最初に正解を選ぶ確率

である。

 

ではなぜこれを間違えてしまうのだろうか。

 

想像してみよう。

なぜ間違えるか

間違える人は変えて当たる確率、変えずに当たる確率どちらも1/2だと考えるようだ。

どうしてだろう。

 

おそらく司会者が不正解の扉を開ける行為が間違いを生みやすいのではないだろうか。

司会者は絶対に不正解の扉を開けてくれる。

つまり閉じた扉は正解の扉と不正解の扉一つずつになるわけだ。

 

これにより自分が選んだ扉と残りの扉の二者択一だと思うようになる。

そうして自分が選んだ扉が正解である確率が1/2だと考えるのだろう。

同様に不正解の確率も1/2だと思う。

 

だが実際は二者択一ではない。

それは見せかけだけだ。

 

最初に自分が選ぶのは三つの扉からである。

そのうち正解は一つで不正解は二つだ。

二つの扉から正解と不正解を選ぶわけではない。

あとは正しい考え方を見ていただければ分かるだろう。

終わりに

いかがだっただろうか。

説明ちゃんと足りてるかな?

ちょっと不安である。

 

まあこのサイトで分からなければ本を読むなりして欲しい。

本当にちょっとした勘違いさえ解ければ正解が理解できると思うぞ。

 

それでは今日はこの辺で。

説明が分かりにくい?

それはみなさんが正月ボケしているからじゃないかな(煽り)?

 

……いや、多分私がボケているからだろう。

なにせみなさんは正月くらいしか休まないが私は年中休んでいる。

どっちがボケているだろうか。

 

これに関しての説明は、不要だろう。